Барк.

Комментарий к трактату Гимли.

В своей блестящей лекции мой досточтимый собрат Гимли вскользь упомянул так называемую "аксиому выбора". Мне кажется, что этот предмет заслуживает особого внимания и отдельного рассказа о себе - поэтому хочу присовокупить к сочинению Гимли свой скромный комментарий. Скажу, что не являюсь специалистом ни в математической логике, ниже в проблемах метаматематики; но я стою на плечах гигантов: Кифы Мокиевича и Васисуалия Лоханкина: "Вот, например, ... зверь родится нагишом. Почему же именно нагишом? Почему не так, как птица, почему не вылупливается из яйца? Как, право, того: совсем не поймешь натуры, как побольше в нее углубишься!" (Н.В.Гоголь)

Аксиома выбора и присутствие Бога в математике.

Все слышали о знаменитом Пятом постулате Евклида, о многовековых попытках доказать его, превратить в теорему; о том, насколько неожиданным - и тем не менее предвиденным еще самим Евклидом оказалось решение этой проблемы. Однако геометрия, бывшая когда-то средоточием всей математики, ныне лишь одна из ее ветвей:

Звезды давно изменились, и небо сместилось вниз,
Хвойные уступили место дубам и кленам,
Сдвинулись полюса, параллельные разошлись
У горизонта, согласно новым законам...
(Любелия)

Фундаментом, основанием современной математики является теория множеств, которая также логически выводится из немногочисленного набора аксиом - так называемых аксиом Цермело-Френкеля (1922). Речь идет о надежности всего громадного здания математики - науки, не похожей ни на какую другую; науки, в которой человеческий разум пытается не столько наблюдать и описывать Творение, но разгадывать - насколько это ему доступно - замыслы Творца и следовать им.

Так же, как в наборе "аксиом Евклида" аксиома "о параллельных" занимает особое место, так в системе аксиом Цермело-Френкеля одна аксиома заметно выделяется среди своих сестер - аксиома выбора.

Но десятая скрылась, бранясь, и, ругаясь, чертила до света.
(Кеменкири)

Язык оснований математики ныне очень формализован и непонятен непосвященным, и требует рун, которых нет среди символов ASCII - но на упрощенном Всеобщем аксиома выбора утверждает, что если дано семейство множеств (можно бы сказать и "множество множеств", но тавтология режет слух) - так вот, если дано семейство множеств, то всегда можно, выбирая из каждого множества по одному элементу (депутату:)) составить из этих представителей новое множество (Думу:)). Вот и все.

Подумаешь, бином Ньютона! То ли дело пятый постулат: там - волнующая недосягаемость бесконечности, невозможность заглянуть за горизонт... А здесь - скучные проблемы избирательной комиссии. Что настораживает математиков в этом невинном утверждении, которое, кажется, приобрело статус аксиомы лишь "для проформы"?

Аксиома выбора была предложена в 1904 году Эрнстом Цермело, и часто называется аксиомой Цермело. По рассказам современников, Цермело был остроумным и несколько желчным человеком. Однажды в 20-х годах, в Вене проводилась математическая конференция; и вот после интересного, но невнятного и потому малопонятного доклада группа математиков отправилась в кофейню. И там раздраженный Цермело выдал несколько афоризмов, которые впоследствии также стали известны в фольклоре как "постулаты Цермело". Вот один из них: "Невозможно переоценить глупость аудитории"... :))

Аксиома выбора вызвала (в свое время) недоверие по двум причинам. Во-первых, непонятно, как производить этот самый "выбор" в отсутствие какого-либо правила, алгоритма, руководящего указания. Та самая проблема:

Вот перед ним стоят кормушки:
Из них какую предпочесть?
Для Буридана все игрушки,
А бедный ослик хочет есть!
Под знойным небом Палестины
Иль в Антактиде он стоит -
Мсье Буридан, Вы злой мужчина,
Почти садист, почти бандит!
(фольклор?)

Но перейдем ко второму камню преткновения. Действительно, нужно быть большим педантом, чтобы усомниться в том, что если уж мы умеем как-то выбирать из каждого множества определенный элемент, то не сумеем собрать выбранные элементы в кучку. Да, разумеется, - если мы имеем дело с конечным набором множеств: нужно просто перебрать эти множества одно за другим. А если множеств бесконечно много?

...кто в кустах, кто прет напролом,
всюду кто-то стоит с кистенем,
в бесконечности, в пустоте,
в никогда, в никак и в нигде
притаился, застыл, сопит...
Ты уж лучше зажмурься, спи!
(Юленька:))

Бесконечности бывают разные - это главное открытие Георга Кантора, с работ которого теория множеств начала самостоятельное существование. Самая безобидная, "ручная" бесконечность - это бесконечность ряда натуральных чисел. Их в принципе можно перебрать одно за другим, _пересчитать_: 1, 2, 3, ... Но бесконечность точек на прямой - неимоверно, непостижимо бОльшая: если их вытаскивать из прямой последовательно, одну за другой - то даже бессмертный мирроанви за бесконечное время не опустошит прямую, ни даже ее сколь угодно короткий отрезок. Подробнее об этих сизифовых трудах стоит рассказать в отдельной лекции. (*)

И что, если множеств в том самом семействе, из которого выбирать, столь же много, как точек на прямой? Если их нельзя перебрать последовательно, один за другим? А то, что действие, о котором говорит аксиома выбора, становится тогда актом творения, в принципе недоступным человеку по самой его природе. Так с аксиомой выбора в математику входит Бог. Вера, что некто способен _сотворить_ то, что человек не в силах _сработать_.

И, как водится, вместе с верой в Творца в математику проникает если не дьявол, то странный потусторонний мир объектов, которые в принципе нельзя построить, нельзя увидеть и потрогать рукой - но в существование которых мы должны верить, раз уж приняли аксиому выбора.

Зверь раскрывает призрачные крылья,
Но бьется на означенной черте.
(Любелия)

Я мог бы перечислить много таких призраков, но это потребует времени на объяснения - не перечислять же замогильно: Асмодей, Бафомет, Асфалот... ой, это не оттуда... :) Ограничусь одним из самых известных и впечатляющих. Оказывается, что обычный трехмерный шар (скажем, арбуз:) можно разрезать на четыре части, из которых потом можно составить - наподобие игрушки "Лего" - _два_ таких же арбуза! Целых, без дырок, без пустот внутри - все по честному:) Здесь нет противоречия с законом сохранения массы, ибо некоторые из ломтиков столь ажурны, что не имеют определенного объема и веса. А еще можно бильярдный шар разделить на конечное число кусков - и сложить потом из них шар земной. Это - так называемый парадокс Банаха-Тарского (1914 год). Можно не сомневаться, что подобное мастерство никогда не будет достигнуто человеком - такое не снилось и Феанору. Однако мы должны верить, что это возможно: это следует из аксиомы выбора.

Еще раз подчеркну: не стоит надеяться, что, продвинувшись в основаниях математики, мы научимся творить такие чудеса - так же, как разобравшись в проблемах геометрии, мы не получили способность изменять кривизну пространства. Дело в нашем понимании Мира - и, если угодно, Бога.

В отличие от естественных наук, чья настоящая история началась с полемики со средневековой схоластикой, математика в эту полемику не вступала - и, пожалуй, многое от схоластики унаследовала. Споры о том, сколько ангелов может поместиться на острие иглы, предвосхитили анализ бесконечно малых; а сравнительно недавно возник так называемый "нестандартный анализ", который заслуживает отдельного рассказа. Не стоит удивляться, что схоласты (не будем показывать пальцем, но это Ансельм Кентерберийский :)) подобрались и к аксиоме выбора. И действительно, так называемое "онтологическое доказательство бытия Бога" неявно использует "лемму Цорна" - утверждение, логически равносильное аксиоме выбора. Неявно и неточно: лемма Цорна позволяет заключить не о существовании Единого Бога - первопричины всего сущего, а лишь о пантеоне пассивных божеств, которые не обязательно являются первопричинами, но всего лишь - не являются следствиями ничего иного:

Мы - славный хор певцов-скопцов, бессильный и надменный:
семь наглецов, семь подлецов, семь беглецов вселенной...
(Хатуль)

Судьба аксиомы выбора оказалась довольно похожей на судьбу Пятого постулата. Курт Гёдель в 1940 году доказал, что она не вступает в противоречие с остальными аксиомами - то есть либо следует из них и является теоремой, либо же, действительно, от них не зависит и может быть принята как дополнительная - это примерно соответствует тому, что совершил Евклид. А Поль Коэн (Cohen) в 1960 году сделал то, что сделал в геометрии Лобачевский (и Янош Бойаи) - он построил модель теории множеств, в которой все аксиомы ZF выполняются, а аксиома выбора - нет: и, стало быть, она может быть заменена другой.

Все это означает, что существует много математик - и Бог весть, какая из них правильная, и можно ли вообще здесь говорить о "правильности"? Можно, впрочем, выбрать путь аскетизма, затворить дверь всякой мистике, всяким попыткам утверждать существование того, что нельзя построить. Можно - это направление называется "интуиционизм": "...классическая логика была абстрагирована от математики конечных множеств... Тот, кто забывает об этом ограниченном происхождении... без всякого основания применяет ее к математике бесконечных множеств. В этом - падение и первородный грех теории множеств, за который она справедливо наказана антиномиями" - это замечательный математик Герман Вейль пересказывает идеи основоположника интуиционизма, математика Брауэра [Г.Вейль, Математическое мышление, М, "Наука", 1989].

С этими возражениями можно согласиться, если вспомнить прецедент с Пятым постулатом: "евклидово" представление о _бесконечной_ прямой тоже ведь было безосновательным. Прямая - это геодезическая линия: длина отрезка меньше длины любой кривой, соединяющей те же две точки. Человек и имел дело только с отрезками - и притом весьма короткими. Его геометрические представления были абстрагированы от свойств фигур, занимающих ограниченную, конечную часть плоскости. А Пятый постулат фиксирует глобальное свойство бесконечной прямой - вот вам и яблоко с Древа Познания, и Евклид в роли Адама... Но эта история дает нам эстель. Да не обидятся на меня христиане за легкомысленное кощунство, но в ней был свой спаситель (Лобачевский (& Бойаи)), и пророки (скажем, Саккери), и предтеча (Гаусс), и апостолы (Бельтрами, Риман, Клейн, Пуанкаре). И ныне этот грех, надо полагать, искуплен. Человеку дано было убедиться в том, что его умозрительные построения, плод его разума являются составной частью Музыки. И одновременно он получил очередной урок: математики уже не поверят ни философам, ни богословам, которые стали бы их убеждать, что общая теория относительности - это и есть Замысел Творца, в котором невозможно сомневаться.

(*) Уже сделано Гимли; однако и эта тема представляется не вполне исчерпанной.

22 Декабря 2001 (20:25:03)

Обсудить эту лекцию вы можете здесь:

http://www.elhe.ru/cgi-bin/dekanat/YaBB.pl?board